기록기록 우는 갈매기

최적 이진 검색 트리란? 최적 이진 검색트리의 뜻을 알기위해서는 먼저 이진 검색 트리의 뜻을 알아야한다. 이진 검색 트리는 말 그대로 이진 트리를 검색 목적으로 사용하는 것이다. 왼쪽에는 같거나 더 작은 값을, 오른쪽에는 더 큰 값을 저장하고 leaf 노드들 간의 depth 차이가 1보다 클 수 없다. 여기서 '최적'이란 단어까지 붙으면 최적 이진 검색트리가 된다. 최적 이진 검색 트리는 가능한 이진 검색 트리 중 key를 찾는데에 걸리는 평균 시간이 가장 짧은 이진 검색 트리를 의미한다. 탐색시간은 원하는 키를 찾기까지 필요한 비교 횟수이다. 평균 탐색시간은 한 노드에 담긴 keym이 찾고자하는 search key일 확률을 pm라고 하고, keym을 찾기까지의 비교횟수를 cm이라고 할 때 pm과 cm의..

플로이드 알고리즘이란? 한 도시에서 다른 도시로 가는 직항로가 없는 경우 가장 빨리 갈 수 있는 항로를 찾는 shortest path 문제들 중 하나이다. 플로이드 알고리즘은 가중치 포함 그래프의 각 정점에서 다른 모든 정점까지의 최단 거리를 구한다. 플로이드 알고리즘이 shortest path 문제들 중 한 유형이므로, 플로이드 알고리즘을 살펴보기 전에 shortest path의 특징을 먼저 알아볼 필요가 있다. ① W : 그래프의 인접행렬 W[i][j] = 이음선의 가중치 (vi에서 vj로의 이음선이 있는 경우) = ∞ (vi에서 vj로의 이음선이 없는 경우) = 0 ( i = j인 경우 ) ② D(k) : 각 정점들 사이의 최단거리 (floyd 알고리즘에서 고안) k : 중간에 거쳐갈 수 있는 정점..

이항계수라하면 고등학교 때 잠깐 나타나고 말 것인줄 알았거늘..... 여기서 또 마주치다니 우리에게 너무나도 익숙한 이 이항계수 nCk 어쩌구 저쩌구가 동적 계획법과 어떤 관련이 있다는건지 알아보자..^^ 이항계수란? 이항계수는 n개의 원소중에서 k개를 순서에 상관없이 뽑았을 때 조합의 가짓수이다. 파스칼의 삼각형을 이용한 이항계수의 성질은 다음과 같다. nCk = n-1Ck-1 + n-1Ck 위 식과 그림을 보면 알 수 있듯, 파스칼 삼각형에서 n-1번째 줄 k-1번째 수와 n-1번째 줄 k번째 수를 합한 값이 n번째 줄 k번째 수의 값이 된다. 즉, 이전 항들의 수의 합이 다음 항의 수가 된다. 이는 전체 문제의 부분들이 서로 상관관계가 있다는 것이고, 따라서 이항계수는 dynamic programm..

dynamic programming는 divide-and-conquer와 마찬가지로 재귀적인 속성을 가지고있지만, 더 나아가 최적화 문제를 다룬다는 특징 또한 가지고있다. 최적화 문제란 주어진 문제에 대하여 하나 이상의 많은 해답이 존재할 때 이 가운데에서 가장 최적인 해답을 찾아야 하는 문제를 일컫는다. 따라서 재귀적인 속성에 최적화 문제인 경우 dynamic programming으로 해결하면 된다. dynamic programming은 bottom-up 방식을 이용하여 재귀적인 문제를 해결한다. 즉, 입력 사이즈가 제일 작은 문제부터 해결하여 점점 큰 문제를 해결해나가고, 이 때 나누어진 부분들 사이에는 서로 상관관계가 있다. dynamic programming 과 divide-and-conquer의..

퀵 정렬 알고리즘이란? 선정된 pivot값을 기준으로 배열을 나누어가면서 재귀적으로 정렬하는 알고리즘 알고리즘 설계 전략 pivot을 선정한다. pivot 보다 작은 값은 왼쪽, 더 큰 값은 오른쪽에 배치한다. 양쪽 배열에 대해 다시 같은 과정을 반복함으로써 최종적으로 배열을 정렬한다. 알고리즘 수도코드 void quicksort(index low, index high) { index pivotpoint; if(high > low) { partition(low, high, pivotpoint); //배열을 pivot 값을 기준으로 반으로 나눈다. quicksort(low, pivotpoint-1); // 왼쪽 배열에 대해 재귀적으로 정렬 quicksort(pivotpoint+1,high); // 오른쪽 ..

합병 정렬 알고리즘이란? 크기가 n인 배열을 원소가 하나 밖에 남지 않을 때까지 계속 반으로 쪼갠 후 다시 크기 순으로 정렬 하면서 원래 크기의 배열로 합치는 정렬 알고리즘 알고리즘 설계 전략 배열 원소가 하나 남을 때 까지 배열을 재귀적으로 쪼갠다. (Divide) 쪼개진 배열들을 정렬하면서 다시 합친다. (Conquer) 알고리즘 수도코드 void mergesort(int n, keytype S[]) { if (n > 1) { const int h = ⌊n/2⌋, m= n - h; keytype U[1..h], v[1..m]; //S를 반으로 쪼개 왼쪽은 U에 오른쪽은 V에 저장 copy S[1] through S[h] to U[1] through U[h]; copy S[h+1] through S[n..

이진탐색 알고리즘이란? 크기가 n인 정렬된 배열 s에 x가 있는지 결정하는 재귀 알고리즘 알고리즘 설계 전략 배열의 중간에 위치하고 있는 값이 x와 같은 경우 성공을 리턴, 그렇지 않으면 분할(Divide) 분할(Divide) : 배열을 반으로 나누고, x가 배열의 중간에 있는 값보다 작으면 왼쪽 배열을 선택(오른쪽 배열은 버림), 크면 오른쪽 배열을 선택(왼쪽 배열은 버림). 정복(Conquer) : 선택한 배열을 갖고 다시 x를 찾는다. 알고리즘 수도 코드 index location (index low, index high) { index mid; if(low > high) return 0; else { mid = ⌊(low+high) / 2⌋; //배열 가운데 값을 구함 if (x == s[mid]..

divide-and-conquer의 핵심은 재귀호출이다. 전체를 풀 때와 부분을 풀 때의 풀이가 같은 경우 큰 문제를 작은 문제로 쪼개서 해결하는데, 이 때 top-down 방식과 bottom-up방식이 있다. top-down: 처음부터 큰 문제를 방문 후 작은 문제를 호출, 재귀(recursive)방식 사용 bottom-up: 작은 문제들부터 해결 후 이를 바탕으로 더 큰 문제들을 해결, 반복(iterative) 방식 사용 top-down과 bottom-up 모두 문제를 쪼갠다는 점에서 비슷해보일 수 있지만 시도 자체가 다르다. top-down은 처음부터 큰 문제를 해결하려고 시도하지만, bottom-up은 큰 문제부터 해결하려하지 않고 작은 문제부터 시작한다. divide-and-conquer은 위의..

점근 표기법(asymptotic notation)은 시간 복잡도 또는 공간 복잡도 함수의 증가 양상을 구분하기 위해 사용하는 표기법이다. 대표적으로 상한(O), 하한(Ω), 교집합(Θ)이 있다. 먼저 간략하게 뜻을 말하면 아래와 같다. O(f(n)) : 상한, 아무리 느려봤자 f(n) 정도이다. f(n)보다 빠르거나 같다. Ω(f(n)) : 하한, 아무리 빨라봤자 f(n) 정도이다. f(n)보다 느리거나 같다. Θ(f(n)) : 차수, 상한과 하한을 함께 제시. 두 집합의 교집합 하나 하나 알아보기전에, 앞서 말한 '빠르다', '느리다'라는 표현에 대해 그 뜻을 정리할 필요가 있다. 함수의 차수가 높을수록 더 빠를 것 같지만, 차수가 낮은 것이 더 빠르다고 표현한다. 즉, 그래프 상으로 그렸을 때 더 아..

알고리즘을 짰다고해서 끝나는 것이 아니다. 짜긴 짰는데 결과 값을 얻어내기까지 어마어마한 시간을 요구한다면 소용이 없기 때문이다. 따라서 분석을 통해 알고리즘의 효율성을 판단해야한다. 알고리즘의 성능은 시간 복잡도(Time Complexity)와 공간 복잡도(Space Complexity)로 표현한다. 시간복잡도: 얼마나 빠른가? 공간복잡도: 얼마나 많은 공간을 차지하는가? 우선, 시간 복잡도 측정에 대해 주로 다뤄보도록 하겠다. (공간 복잡도는 나중에 중간중간 나올 예정) 시간복잡도 시간복잡도(Time Complexity)는 알고리즘이 '얼마나 빠른가'를 나타내는 함수이며, 보통 함수 이름으로 T(n)을 사용한다. 즉, n과 T(n)의 관계를 구하는 것인데, 이 때 n은 input size가 된다. 시..